熱帯魚の大人買い に書いたクイーンエンゼルフィッシュが成魚になって 3 日後にこどもを産みました。日齢は 65 日、満腹度は 97%、なつき度は 60%、繁殖度は 80%、水槽の混雑度は 51/59 でした。期待以上に早く産まれたのは、日齢が近い 3 ペア 6 匹を投入した効果かも知れません。これで繁殖に成功した魚は 40 種類中 9 種類になりました。

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ハナゴンベの兄弟

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ハナゴンベが 2 匹目のこどもを産みました。日齢は 35 日、満腹度は 97%、なつき度は 90%、繁殖度は 100%、水槽の混雑度は 50/59 でした。繁殖成功率は 8/40 で変わっていません。ハナゴンベの成魚日齢は 19 日なので日齢 38 日までは繁殖度が 100% です。その期間、日齢 23 日と日齢 35 日の 2 回こどもを産んだことになります。これまで繁殖に成功した魚は売却して他の魚と入れ替えていたので、同じ魚が 2 匹目のこどもを産んだのは今回が初めてです。

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ニュートン法とアフィン変換

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方程式

f(x) = 0

に対するニュートン法の漸化式は

xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

です。ここで f(x) の x をアフィン変換 (拡大、縮小、回転、平行移動) した関数

g(x) = f(p·x+q)

を考えると、方程式

g(x) = 0

に対するニュートン法の漸化式は

xn+1 = xn - g(xn)g'(xn)

xn+1 = xn - f(p·xn+q)p·f'(p·xn+q)

p·xn+1+q = p·xn+q - f(p·xn+q)f'(p·xn+q)

となります。これは f(x) の x をアフィン変換するとニュートン法の xn の軌道も同じようにアフィン変換されることを意味しています。xn の軌道には初期値 x0 も含まれますから、2 つの方程式の解の位置を頂点とする多角形が相似ならば、その 2 つをニュートン法で解いてどの解に収束するかで初期値を塗り分けたときに現れる図形も相似になります。ニュートン法とフラクタル で書いた

f(x) = x3-1

の場合は単位円に内接する正三角形の頂点の位置に解があって、初期値を塗り分けるとどんぐりが連なったような模様が現れました。ということは、3 つの解を結ぶと正三角形ができる 3 次方程式ならば、正三角形が複素平面上のどこにあってどちらを向いていても、ニュートン法で解いてどの解に収束するかで初期値を塗り分けると必ずどんぐりが連なったような模様が現れるのです。例えば 3 つの解を 1+i, -1+isqrt(3), 1-isqrt(3) に配置すると、こうなります。

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ニュートン法とフラクタル

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微分可能な関数 f(x) で表される方程式

f(x) = 0

が与えられたとき、初期値 xn を決めて漸化式

xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

の計算を繰り返すことで解を求める方法がニュートン法です。

3 次方程式

x3-1 = 0

の場合、複素平面上の初期値 x0 から出発して漸化式

xn+1 = xn - xn3-13xn2

の計算を繰り返すと、xn

  1. 1 に収束する。
  2. ω = -1+sqrt(3)·i2 に収束する。
  3. ω2 = -1-sqrt(3)·i2 に収束する。
  4. どの解にも収束せず複素平面上を彷徨い続ける。
  5. ゼロ除算で計算できなくなる。

のいずれかになります。この結果によって複素平面上の初期値 x0 を塗り分けます。1 に収束した初期値を赤、ω に収束した初期値を緑、ω2 に収束した初期値を青、それ以外を黒で塗ると、こうなります。

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画像の範囲は左下が -1.6-0.9i、右上が 1.6+0.9i、中央が 0 で、解の位置は右側の赤が暗くなっている辺りが 1、左上の緑が暗くなっている辺りが ω、左下の青が暗くなっている辺りが ω2 です。

もしも、常に初期値から最も近い解に収束するのであれば、赤と緑、緑と青、青と赤の境界線はすべて直線になるはずです。しかし、実際の境界線は直線でないどころか、そもそも境界線と呼べるものは存在しません。なぜなら、このどんぐりが連なったような模様はフラクタル (自己相似的) で、どこまで拡大しても赤と緑の間には青が、緑と青の間には赤が、青と赤の間には緑が挟まっていて終わりがないからです。これは「平面が複数の色で塗り分けられているのに色の境界線が存在しない」という奇妙な図形なのです。

ハコベラのこども

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熱帯楽園 でハコベラのこどもが産まれました。繁殖成功は 40 匹中 8 匹目。ハコベラのショップランクは前回の ハナゴンベのこども と同じ B です。やはりランクの低い魚はバグの影響で繁殖しないのかも知れません。こどもを産んだハコベラの日齢は 40 日、満腹度は 97%、なつき度は 80%、繁殖度は 100%、水槽混雑度は 51/59 でした。

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繁殖度

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繁殖度は魚を購入したときまたは産まれたときから成魚日齢までは 0% で、成魚日齢で最大値に跳ね上がり、成魚日齢の 2 倍の日齢まで最大値を維持して、その後下がり始めます。何の違いか分かりませんが、繁殖度の最大値が 100% になる種類と 60% 前後止まりの種類があるようです。コガネシマアジ、ミスジリュウキュウスズメダイ、デバスズメダイ、ツノダシ、ネッタイスズメダイ、マンジュウイシモチなどは後者でした。日齢の他に繁殖度を 100% にするための条件があるのかも知れません。いずれにしても、繁殖度は魚の日齢が成魚日齢の 1 倍から 2 倍までの範囲内であることを 100% という記号で示しているだけで、繁殖度からそれ以上の情報を得ることはできません。繁殖度が 100% だからといってすぐに繁殖するわけではありません。

なつき度

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鑑賞モードが OFF のとき、なつき度は魚を購入した時点または産まれた時点の 0% から徐々に上がって行きます。また、試行錯誤して見つけた方法なのですが、前回から 3 時間以上間隔を空けて水槽の水面に近いところを魚を避けながら 1 秒間隔で 3~4 回コンコン (ダブルクリック) して魚が一斉に集まってきたところにエサを投入すると、その瞬間に高い確率でなつき度が上がります。この方法の難点は、水槽が混雑していると見た目よりも当たり判定が大きい魚を避けてコンコンを繰り返す操作に失敗しやすいところです。なつき度の上げ方は分かりましたが、結局、なつき度を上げると何が変わるのか、これまでの動作を見た限りではよく分かりません。

満腹度

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鑑賞モードが OFF のとき、満腹度は魚を購入した時点の 100% または産まれた時点の 50% 付近から徐々に減って行きます。満腹度が 0% になった魚はエサ不足を理由に逃げてしまうので、鑑賞モードが OFF のときは定期的に魚にエサを与えなければなりません。水槽の上端の水面の部分をクリックするとエサが投入されて満腹度が回復します。ゆっくりと沈んでゆくエサに魚が集まってきますが、エサにありつけたかどうかの区別はなく、エサを投入した瞬間に水槽にいるすべての魚の満腹度が回復します。

金色潜水艦 (7 回目)

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最近、金色潜水艦をよく見かけます。春だからね...って野良猫じゃあるまいし。

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ハナゴンベのこども

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熱帯楽園 でハナゴンベのこどもが産まれました。小さいハナゴンベの近くをさらに小さいこどもが泳ぎ回っていて微笑ましい光景です。繁殖成功は 40 匹中やっと 7 匹目です。前回、モンガラカワハギがこどもを産んだのが 13 日前で、その日に日齢 10 日で買ったハナゴンベのペアが日齢 19 日で成魚になり、日齢 23 日でこどもを産みました。満腹度は 94% 以上、なつき度は 46%、繁殖度は 100%、水槽混雑度は 52/59 でした。

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これで、買った順序が後のランクの高い魚のこどもばかりが 3 匹続けて産まれたことになります。狂った時計とエサ不足 に書いた「鑑賞モードが OFF なのに魚が成長しない」というバグを経験したランクの低い魚は繁殖する気配がなく、「誤動作した時点で繁殖できなくなっていてこのまま待ち続けてもこどもが産まれることはないのではないか」という疑念が強くなりました。

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