2017年4月アーカイブ

ニュートン法とフラクタル に書いた 3 次方程式

x3-1 = 0

の解は

  1. 1
  2. ω = -1+sqrt(3)·i2
  3. ω2 = -1-sqrt(3)·i2

の 3 つです。これらは単位円に内接する正三角形の頂点の位置にあります。

ここで、解 1 を原点に近付けて、3 つの解がなす三角形を頂角が 60 度より大きい二等辺三角形にしてみます。

60plus-99-480x270.jpg0.99

60plus-97-480x270.jpg0.97

60plus-90-480x270.jpg0.9

60plus-70-480x270.jpg0.7

どんぐりがほつれてしまいました。

熱帯魚の大人買い に書いたクイーンエンゼルフィッシュが成魚になって 3 日後にこどもを産みました。日齢は 65 日、満腹度は 97%、なつき度は 60%、繁殖度は 80%、水槽の混雑度は 51/59 でした。期待以上に早く産まれたのは、日齢が近い 3 ペア 6 匹を投入した効果かも知れません。これで繁殖に成功した魚は 40 種類中 9 種類になりました。

queen-angelfish-1-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

queen-angelfish-2-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

ハナゴンベの兄弟

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ハナゴンベが 2 匹目のこどもを産みました。日齢は 35 日、満腹度は 97%、なつき度は 90%、繁殖度は 100%、水槽の混雑度は 50/59 でした。繁殖成功率は 8/40 で変わっていません。ハナゴンベの成魚日齢は 19 日なので日齢 38 日までは繁殖度が 100% です。その期間、日齢 23 日と日齢 35 日の 2 回こどもを産んだことになります。これまで繁殖に成功した魚は売却して他の魚と入れ替えていたので、同じ魚が 2 匹目のこどもを産んだのは今回が初めてです。

hanagonbe-4-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

ニュートン法とアフィン変換

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方程式

f(x) = 0

に対するニュートン法の漸化式は

xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

です。ここで f(x) の x をアフィン変換 (拡大、縮小、回転、平行移動) した関数

g(x) = f(p·x+q)

を考えると、方程式

g(x) = 0

に対するニュートン法の漸化式は

xn+1 = xn - g(xn)g'(xn)

xn+1 = xn - f(p·xn+q)p·f'(p·xn+q)

p·xn+1+q = p·xn+q - f(p·xn+q)f'(p·xn+q)

となります。これは f(x) の x をアフィン変換するとニュートン法の xn の軌道も同じようにアフィン変換されることを意味しています。xn の軌道には初期値 x0 も含まれますから、2 つの方程式の解の位置を頂点とする多角形が相似ならば、その 2 つをニュートン法で解いてどの解に収束するかで初期値を塗り分けたときに現れる図形も相似になります。ニュートン法とフラクタル で書いた

f(x) = x3-1

の場合は単位円に内接する正三角形の頂点の位置に解があって、初期値を塗り分けるとどんぐりが連なったような模様が現れました。ということは、3 つの解を結ぶと正三角形ができる 3 次方程式ならば、正三角形が複素平面上のどこにあってどちらを向いていても、ニュートン法で解いてどの解に収束するかで初期値を塗り分けると必ずどんぐりが連なったような模様が現れるのです。例えば 3 つの解を 1+i, -1+isqrt(3), 1-isqrt(3) に配置すると、こうなります。

newtons-method-2-480x270.jpg

ニュートン法とフラクタル

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微分可能な関数 f(x) で表される方程式

f(x) = 0

が与えられたとき、初期値 xn を決めて漸化式

xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

の計算を繰り返すことで解を求める方法がニュートン法です。

3 次方程式

x3-1 = 0

の場合、複素平面上の初期値 x0 から出発して漸化式

xn+1 = xn - xn3-13xn2

の計算を繰り返すと、xn

  1. 1 に収束する。
  2. ω = -1+sqrt(3)·i2 に収束する。
  3. ω2 = -1-sqrt(3)·i2 に収束する。
  4. どの解にも収束せず複素平面上を彷徨い続ける。
  5. ゼロ除算で計算できなくなる。

のいずれかになります。この結果によって複素平面上の初期値 x0 を塗り分けます。1 に収束した初期値を赤、ω に収束した初期値を緑、ω2 に収束した初期値を青、それ以外を黒で塗ると、こうなります。

newtons-method-1-480x270.jpg

画像の範囲は左下が -1.6-0.9i、右上が 1.6+0.9i、中央が 0 で、解の位置は右側の赤が暗くなっている辺りが 1、左上の緑が暗くなっている辺りが ω、左下の青が暗くなっている辺りが ω2 です。

もしも、常に初期値から最も近い解に収束するのであれば、赤と緑、緑と青、青と赤の境界線はすべて直線になるはずです。しかし、実際の境界線は直線でないどころか、そもそも境界線と呼べるものは存在しません。なぜなら、このどんぐりが連なったような模様はフラクタル (自己相似的) で、どこまで拡大しても赤と緑の間には青が、緑と青の間には赤が、青と赤の間には緑が挟まっていて終わりがないからです。これは「平面が複数の色で塗り分けられているのに色の境界線が存在しない」という奇妙な図形なのです。

ハコベラのこども

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熱帯楽園 でハコベラのこどもが産まれました。繁殖成功は 40 匹中 8 匹目。ハコベラのショップランクは前回の ハナゴンベのこども と同じ B です。やはりランクの低い魚はバグの影響で繁殖しないのかも知れません。こどもを産んだハコベラの日齢は 40 日、満腹度は 97%、なつき度は 80%、繁殖度は 100%、水槽混雑度は 51/59 でした。

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繁殖度

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繁殖度は魚を購入したときまたは産まれたときから成魚日齢までは 0% で、成魚日齢で最大値に跳ね上がり、成魚日齢の 2 倍の日齢まで最大値を維持して、その後下がり始めます。何の違いか分かりませんが、繁殖度の最大値が 100% になる種類と 60% 前後止まりの種類があるようです。コガネシマアジ、ミスジリュウキュウスズメダイ、デバスズメダイ、ツノダシ、ネッタイスズメダイ、マンジュウイシモチなどは後者でした。日齢の他に繁殖度を 100% にするための条件があるのかも知れません。いずれにしても、繁殖度は魚の日齢が成魚日齢の 1 倍から 2 倍までの範囲内であることを 100% という記号で示しているだけで、繁殖度からそれ以上の情報を得ることはできません。繁殖度が 100% だからといってすぐに繁殖するわけではありません。

なつき度

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鑑賞モードが OFF のとき、なつき度は魚を購入した時点または産まれた時点の 0% から徐々に上がって行きます。また、試行錯誤して見つけた方法なのですが、前回から 3 時間以上間隔を空けて水槽の水面に近いところを魚を避けながら 1 秒間隔で 3~4 回コンコン (ダブルクリック) して魚が一斉に集まってきたところにエサを投入すると、その瞬間に高い確率でなつき度が上がります。この方法の難点は、水槽が混雑していると見た目よりも当たり判定が大きい魚を避けてコンコンを繰り返す操作に失敗しやすいところです。なつき度の上げ方は分かりましたが、結局、なつき度を上げると何が変わるのか、これまでの動作を見た限りではよく分かりません。

満腹度

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鑑賞モードが OFF のとき、満腹度は魚を購入した時点の 100% または産まれた時点の 50% 付近から徐々に減って行きます。満腹度が 0% になった魚はエサ不足を理由に逃げてしまうので、鑑賞モードが OFF のときは定期的に魚にエサを与えなければなりません。水槽の上端の水面の部分をクリックするとエサが投入されて満腹度が回復します。ゆっくりと沈んでゆくエサに魚が集まってきますが、エサにありつけたかどうかの区別はなく、エサを投入した瞬間に水槽にいるすべての魚の満腹度が回復します。

金色潜水艦 (7 回目)

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最近、金色潜水艦をよく見かけます。春だからね...って野良猫じゃあるまいし。

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ハナゴンベのこども

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熱帯楽園 でハナゴンベのこどもが産まれました。小さいハナゴンベの近くをさらに小さいこどもが泳ぎ回っていて微笑ましい光景です。繁殖成功は 40 匹中やっと 7 匹目です。前回、モンガラカワハギがこどもを産んだのが 13 日前で、その日に日齢 10 日で買ったハナゴンベのペアが日齢 19 日で成魚になり、日齢 23 日でこどもを産みました。満腹度は 94% 以上、なつき度は 46%、繁殖度は 100%、水槽混雑度は 52/59 でした。

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これで、買った順序が後のランクの高い魚のこどもばかりが 3 匹続けて産まれたことになります。狂った時計とエサ不足 に書いた「鑑賞モードが OFF なのに魚が成長しない」というバグを経験したランクの低い魚は繁殖する気配がなく、「誤動作した時点で繁殖できなくなっていてこのまま待ち続けてもこどもが産まれることはないのではないか」という疑念が強くなりました。

日齢

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熱帯楽園 で飼っている魚のステータス画面には、名前、性別、日齢、満腹度、なつき度、繁殖度が表示されています。これらのパラメータについて詳しい説明がなく、特になつき度と繁殖度がどのような効果をもたらしているのか、いまだに理解できていません。

鑑賞モードが OFF のとき、日齢は産まれた日を 0 日として 1 日に 1 ずつ増えて行きます。魚の種類によって成魚日齢 (成魚になる日齢) が決まっていて、ショップで魚を購入したときの日齢は成魚日齢未満の範囲でランダムに設定されるようです。繁殖を目指すときは同じ種類の魚のオスとメスをペアで購入しますが、メダルに余裕があるときはどちらかを買い直すことを繰り返して日齢を揃えておくとペアが同じ日に成魚になり、繁殖度が最大の期間が重なるのでこどもが産まれる確率が高くなるのではないかと考えました。しかし、その効果を確認できるほど繁殖に成功していないのが現状です。オスとメスのどちらか若い方を買い直してペアの日齢を上げておくと少ない日数で成魚になりますが、成魚までの日数が少ないとなつき度が低いまま成魚になってしまうので、もしも繁殖の条件になつき度が含まれているとかえって不利になるかも知れません。

熱帯魚の大人買い

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熱帯楽園 はレベルが上がる度にレベルを上げるのに必要なメダルの枚数が増えて行きます。そのため、レベルを上げることを優先している間はいつもメダルが不足している状態です。ところが、最高レベルのレベル 50 に到達するとレベルを上げるためにメダルを消費しなくなるので、それまでと同じペースでメダルを集めているとメダルが余るようになります。そして上限の 999,999 枚で「潜水艦をクリックしてもメダルが増えない」というつまらない状態になってしまいます。そうなったら、やることは決まっています。貯まりすぎたメダルを減らすために、「熱帯魚の大人買い」を敢行するのです。

というわけで、思い切って日齢が成魚日齢の 2 倍を過ぎて繁殖度が下がり始めた魚と繁殖度が 60% 止まりの魚を売って水槽のスペースを確保してから、飼ったことのなかった魚をすべてペアで買い揃えました。購入時にランダムで設定される日齢が離れているペアは売却と購入を繰り返して日齢を近付け、さらに、図鑑の最後のページのクイーンエンゼルフィッシュは繁殖の確率が上がることを期待して 3 ペア 6 匹を投入してみました。これで繁殖してくれるとよいのですが...。

six-queen-angelfishes-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

金色潜水艦 (6 回目)

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金色潜水艦を見たのは 5 回だけだと書いたらすぐに 6 回目がやってきました。金色潜水艦を 1 週間に 2 回見たのは初めてです。

gold-submarine-6-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

金色潜水艦

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熱帯楽園 の金色潜水艦は 1 週間に 1 回現れるかどうかのレアキャラです。私も金色潜水艦を見たのは 5 回だけで、まだ至近距離からの撮影に成功していません。レベル 50 のとき金色潜水艦はメダル 20000 枚になりますが、出現頻度が低すぎるので、金色潜水艦を待つよりも銀色潜水艦を全部クリックする方が効率よくメダルを増やせます。

gold-submarine-3-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

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銀色潜水艦

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銀色潜水艦は多いときで 1 日に数回見られます。レベル 50 のとき銀色潜水艦はメダル 5000 枚です。出現頻度に対してメダルの枚数が多いので、銀色潜水艦を見かけたら必ずクリックします。

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銅色潜水艦

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待っていてもなかなか出てこないけれど、気付くと泳いでいることがあるのが銅色潜水艦です。レベル 50 のとき銅色潜水艦はメダル 500 枚になります。複数の色のパーツを組み合わせたプラモデルのような質感の青色潜水艦、黄色潜水艦とは一変して、銅色潜水艦、銀色潜水艦、金色潜水艦は全体が光沢のある金属でできているようです。にも関わらず、水中モーターの形をそのままにして玩具感を残しているところに遊び心を感じます。中まで金属が詰まっていると重くて沈んでしまいそうですから、鍍金か、スプレー塗料かも知れませんね。中身は青色潜水艦と同じ金型を使った単色成型のプラスチックだったりして。

bronze-submarine-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

黄色潜水艦

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黄色潜水艦も頻繁に現れます。黄色といっても船首と舵は赤色、潜望鏡とスクリュープロペラは青色のパーツでできています。レベル 50 でも青色潜水艦はメダル 10 枚、黄色潜水艦はメダル 30 枚の雑魚ですが、他の色の潜水艦が出てこられるようにさっさと消してしまいましょう。

yellow-submarine-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

青色潜水艦

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熱帯楽園 には青色、黄色、銅色、銀色、金色の 5 種類の潜水艦が出てきます。この順序で出現頻度が下がり、クリックしたときに加算されるメダルが増えます。潜水艦が同時に 2 匹...匹?...出てくることはありませんが、潜水艦をクリックして消した途端に出現頻度が最も高い青色潜水艦が現れることがあります。

blue-submarine-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

繁殖待ち

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現在、なつき度と繁殖度が両方 100% のペアが 11 組いるのですが、なかなかこどもが産まれません。

wait-for-breeding-480x270.jpg(C)UNBALANCE Corporation

狂った時計とエサ不足

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4 月 3 日の未明に「一部の Windows PC の時計が 1 時間進んでしまう」という問題が発生したそうです。このときうちの PC は影響を受けなかったのですが、実は先月、「気付いたら PC の時計が 1 時間遅れていた」という問題が発生していました。そのときは同じ現象を報告している人を見つけられなかったのでローカルな問題かと思っていたのですが、今回のことと何か関係があるのではないかという気がしてきました。

PC の時計が 1 時間遅れていることに気付いたきっかけは「 熱帯楽園 の水槽にいたエサをやったばかりの 44 匹の魚たちが全員エサ不足を理由に逃げてしまった」という悲しい出来事でした。その後、レベルを下げたくなかったので空になった水槽にそのまま新しい魚を入れたところ、今度は「鑑賞モードが OFF なのに魚が成長しない」という状態になりました。鑑賞モードを ON にしてから OFF に戻すことで魚が成長するようになりました。

通常の時刻合わせでも経過時間がマイナス数秒になることはありますが、マイナス 1 時間という状況は毎日運用されている PC では普通は起こりません。それが起きてしまったとき、熱帯楽園は経過時間のマイナス符号を適切に処理できず、プラスの長い期間が経過したと誤認してエサ不足になっていると判断されて魚が逃げてしまうことがあるのではないかと推測しています。

月明かりの遺跡

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株式会社アンバランス 様より 熱帯楽園 のスクリーンショットの掲載許可をいただきました。ありがとうございます。

熱帯楽園はショップにある様々な底床、置物、背景から好きなものを選んで水槽のレイアウトを変えることができます。満月と遺跡っぽい石があったので、メダルに余裕ができた頃に「月明かりの遺跡」という題名でレイアウトを変えてみました。厳かな題名とは裏腹に、今では大きく育った魚たちがひしめき合って月が隠れてしまいそうです。

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潜水艦

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熱帯楽園 の設定で潜水艦を ON にすると、水槽のどこかに熱帯魚に紛れて潜水艦が出現するようになります。その潜水艦がどう見てもマブチの水中モーターを装着した立派な玩具なのです。スクリュープロペラを回転させて、舵を動かして、自分は魚だと言わんばかりの泳ぎを見せてくれます。子供の頃に水中モーターで遊んだ世代がほっこりする演出です。

熱帯楽園

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Windows 10 に 熱帯楽園 を入れています。グラフィックスが美しい熱帯魚水槽シミュレータです。先日やっと最高レベルのレベル 50 になりました。こどもが産まれたのはルリスズメダイ、ゴールデンドミノ、オヤビッチャ、カクレクマノミ、ハタタテハゼ、モンガラカワハギの 6 種類。熱帯魚は全部で 40 種類。コンプリートできるのはいつになることやら。

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