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今度は、解 ω と ω2 を実軸に近付けて、3 つの解がなす三角形を頂角が 60 度より小さい二等辺三角形にしてみます。

60minus-a800-480x270.jpg-0.5±0.8i

60minus-a700-480x270.jpg-0.5±0.7i

60minus-a600-480x270.jpg-0.5±0.6i

60minus-a510-480x270.jpg-0.5±0.51i

60minus-a500-480x270.jpg-0.5±0.5i

60minus-a400-480x270.jpg-0.5±0.4i

60minus-a330-480x270.jpg-0.5±0.33i

60minus-a300-480x270.jpg-0.5±0.3i

異変は 0.1i 刻みでは見逃してしまいます。0.01i 刻みで見ると、-0.5±0.51i と -0.5±0.33i のとき原点付近に黒い穴が空くことがわかります (0.001i 刻みにするともっと多くの場所で穴が空きます)。-0.5±0.33i の前後を 10 倍に拡大して見てみましょう。

60minus-b338-480x270.jpg-0.5±0.338i

60minus-b337-480x270.jpg-0.5±0.337i

60minus-b336-480x270.jpg-0.5±0.336i

60minus-b335-480x270.jpg-0.5±0.335i

60minus-b334-480x270.jpg-0.5±0.334i

60minus-b333-480x270.jpg-0.5±0.333i

60minus-b332-480x270.jpg-0.5±0.332i

60minus-b331-480x270.jpg-0.5±0.331i

60minus-b330-480x270.jpg-0.5±0.33i

60minus-b329-480x270.jpg-0.5±0.329i

60minus-b328-480x270.jpg-0.5±0.328i

60minus-b327-480x270.jpg-0.5±0.327i

60minus-b326-480x270.jpg-0.5±0.326i

60minus-b325-480x270.jpg-0.5±0.325i

60minus-b324-480x270.jpg-0.5±0.324i

白は反復回数は大きいけれど収束した初期値、黒は収束しなかった初期値です。色は白から黒に、形は丸から団子に、ドラスティックに変化しています。

ニュートン法とフラクタル に書いた 3 次方程式

x3-1 = 0

の解は

  1. 1
  2. ω = -1+sqrt(3)·i2
  3. ω2 = -1-sqrt(3)·i2

の 3 つです。これらは単位円に内接する正三角形の頂点の位置にあります。

ここで、解 1 を原点に近付けて、3 つの解がなす三角形を頂角が 60 度より大きい二等辺三角形にしてみます。

60plus-99-480x270.jpg0.99

60plus-97-480x270.jpg0.97

60plus-90-480x270.jpg0.9

60plus-70-480x270.jpg0.7

どんぐりがほつれてしまいました。

ニュートン法とアフィン変換

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方程式

f(x) = 0

に対するニュートン法の漸化式は

xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

です。ここで f(x) の x をアフィン変換 (拡大、縮小、回転、平行移動) した関数

g(x) = f(p·x+q)

を考えると、方程式

g(x) = 0

に対するニュートン法の漸化式は

xn+1 = xn - g(xn)g'(xn)

xn+1 = xn - f(p·xn+q)p·f'(p·xn+q)

p·xn+1+q = p·xn+q - f(p·xn+q)f'(p·xn+q)

となります。これは f(x) の x をアフィン変換するとニュートン法の xn の軌道も同じようにアフィン変換されることを意味しています。xn の軌道には初期値 x0 も含まれますから、2 つの方程式の解の位置を頂点とする多角形が相似ならば、その 2 つをニュートン法で解いてどの解に収束するかで初期値を塗り分けたときに現れる図形も相似になります。ニュートン法とフラクタル で書いた

f(x) = x3-1

の場合は単位円に内接する正三角形の頂点の位置に解があって、初期値を塗り分けるとどんぐりが連なったような模様が現れました。ということは、3 つの解を結ぶと正三角形ができる 3 次方程式ならば、正三角形が複素平面上のどこにあってどちらを向いていても、ニュートン法で解いてどの解に収束するかで初期値を塗り分けると必ずどんぐりが連なったような模様が現れるのです。例えば 3 つの解を 1+i, -1+isqrt(3), 1-isqrt(3) に配置すると、こうなります。

newtons-method-2-480x270.jpg

ニュートン法とフラクタル

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微分可能な関数 f(x) で表される方程式

f(x) = 0

が与えられたとき、初期値 xn を決めて漸化式

xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

の計算を繰り返すことで解を求める方法がニュートン法です。

3 次方程式

x3-1 = 0

の場合、複素平面上の初期値 x0 から出発して漸化式

xn+1 = xn - xn3-13xn2

の計算を繰り返すと、xn

  1. 1 に収束する。
  2. ω = -1+sqrt(3)·i2 に収束する。
  3. ω2 = -1-sqrt(3)·i2 に収束する。
  4. どの解にも収束せず複素平面上を彷徨い続ける。
  5. ゼロ除算で計算できなくなる。

のいずれかになります。この結果によって複素平面上の初期値 x0 を塗り分けます。1 に収束した初期値を赤、ω に収束した初期値を緑、ω2 に収束した初期値を青、それ以外を黒で塗ると、こうなります。

newtons-method-1-480x270.jpg

画像の範囲は左下が -1.6-0.9i、右上が 1.6+0.9i、中央が 0 で、解の位置は右側の赤が暗くなっている辺りが 1、左上の緑が暗くなっている辺りが ω、左下の青が暗くなっている辺りが ω2 です。

もしも、常に初期値から最も近い解に収束するのであれば、赤と緑、緑と青、青と赤の境界線はすべて直線になるはずです。しかし、実際の境界線は直線でないどころか、そもそも境界線と呼べるものは存在しません。なぜなら、このどんぐりが連なったような模様はフラクタル (自己相似的) で、どこまで拡大しても赤と緑の間には青が、緑と青の間には赤が、青と赤の間には緑が挟まっていて終わりがないからです。これは「平面が複数の色で塗り分けられているのに色の境界線が存在しない」という奇妙な図形なのです。

双子素数

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PrimeGrid プロジェクトによって、知られている最大の双子素数(ある数とそれに 2 を加えた数がどちらも素数の組み合わせで知られている一番大きい数)の記録が 2 年 4 ヶ月ぶりに更新されました。その値は 3756801695685×2666669±1、桁数は 200700 桁です。ラッキーな発見者はアメリカの Timothy D. Winslow さんで、2 つの数が素数であることを証明するのにかかった時間は 9 分 21 秒だったそうです。知られている最大の素数が 12978189 桁もある(こちらは 3 年前から更新されていない)ことと比べてうっかり「簡単そうじゃないか」と思ってしまった人は、記録更新に挑戦してみるとよいでしょう。運が良ければ双子素数の歴史に名前を刻めるかも知れません。

円周率 5 兆桁

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R271 陥落

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素因数分解されていないレピュニットの中でこれまで最小だった R271 の残り 214 桁の合成数が、94 桁の素数と 121 桁の素数の積に分解されました。

c243 = P110 * P134

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Markus Tervooren さんが 243 桁の合成数 6·10242+1 を 110 桁の素数と 134 桁の素数の積に分解することに成功しました。出力結果はこちら。篩の所要時間はおよそ 430 Core2-CPU-days とのことです。

多項式選択に 20 CPU 年、篩に 1,500 CPU 年、線形代数に 155 CPU 年かかったらしい。よい多項式を引き当てる運と、よいパラメータを決める経験と、特に線形代数のステップを実装する技術と、たくさんの計算機を長期間に渡って動員する力 (実績とかお金とか権力とか) がないときっと無理。

ECM の世界記録

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先日、"7" の後ろに "1" が 341 個並んだ数 (64·10341-1)/9 の残りの 296 桁の合成数 から ECM で 68 桁の素因数が見つかり、50 largest factors found by ECM のトップが 3 年ぶりに更新されました。発見したのは分散コンピューティングプロジェクトの yoyo@home に参加している Lazarus-uk さん です。Factorizations of near-repdigit-related numbers で扱っている数 (レピュニットを除く) から ECM の世界記録が出たのは 2003 年に Robert Backstrom さんが発見した 58 桁の素因数以来 6 年ぶりです。

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