素数の最近の記事

双子素数

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PrimeGrid プロジェクトによって、知られている最大の双子素数(ある数とそれに 2 を加えた数がどちらも素数の組み合わせで知られている一番大きい数)の記録が 2 年 4 ヶ月ぶりに更新されました。その値は 3756801695685×2666669±1、桁数は 200700 桁です。ラッキーな発見者はアメリカの Timothy D. Winslow さんで、2 つの数が素数であることを証明するのにかかった時間は 9 分 21 秒だったそうです。知られている最大の素数が 12978189 桁もある(こちらは 3 年前から更新されていない)ことと比べてうっかり「簡単そうじゃないか」と思ってしまった人は、記録更新に挑戦してみるとよいでしょう。運が良ければ双子素数の歴史に名前を刻めるかも知れません。

R271 陥落

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素因数分解されていないレピュニットの中でこれまで最小だった R271 の残り 214 桁の合成数が、94 桁の素数と 121 桁の素数の積に分解されました。

c243 = P110 * P134

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Markus Tervooren さんが 243 桁の合成数 6·10242+1 を 110 桁の素数と 134 桁の素数の積に分解することに成功しました。出力結果はこちら。篩の所要時間はおよそ 430 Core2-CPU-days とのことです。

a^2+b^2 の因数分解

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「a2+b2 は因数分解できるわけがないから a2-b2 の間違いだろう」と思った人は頭をモミモミして柔らかくしましょうね。a2+b2 だってちゃんと分解できるんですよ。

a2+b2=(a-√2ab+b)(a+√2ab+b)

ほらできた。

・・・はいそこ、ズルイとか言わない。

この分解の仕組みを知っていると、例えば 2501, 25000001, 250000000001,… のように 25 と 1 の間に 0 を 4n+1 個挟んだ数は決して素数にならないことがすぐにわかります。

25·104n+2+1=(5·102n+1)2+12
-=(5·102n+1+1)2-2·5·102n+1·1
-=(5·102n+1+1)2-10·102n+1
-=(5·102n+1+1)2-102n+2
-=(5·102n+1+1)2-(10n+1)2
-=(5·102n+1+1-10n+1)(5·102n+1+1+10n+1)
-=(5·102n+1-10n+1+1)(5·102n+1+10n+1+1)

題意から n は 0 以上の整数ですから 5·102n+1±10n+1+1 は 1 よりも大きい整数です。25·104n+2+1 は少なくとも 2 つの素因数を持つことになるので素数にはなりません。

563528*13^563528-1 は素数らしい

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PrimeGrid が知られている最大の Generalized Woodall 素数すなわち n · bn-1 の形の素数を発見したと発表しました。今回見つかった素数は 563528 · 13563528-1 で桁数は 62 万 7,745 桁。1,200 万桁を超えているメルセンヌ素数の記録と比べると小さく見えますが、基数が 2 でなく Generalized Fermat (b2n+1 の形) でもない素数としてはこれまでで最も大きな素数とのことです。

知られている最大の双子素数

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分散コンピューティングプロジェクトの 1 つ、PrimeGrid によって 1116593616...... で始まる 100,355 桁の双子素数 65516468355×2333333±1 が発見され、知られている最大の双子素数の記録が 10 万桁を超えました。

10^393+1 が素因数分解された

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Serge Batalov さんと Bruce Dodson さんが Jason Papadopoulos さんのプログラムを利用して 10393+1 の残り 253 桁の合成数を 119 桁の素数と 134 桁の素数の積に分解することに成功しました。

PFGW 3.1.0

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素数判定プログラム PrimeForm/GW (PFGW) のバージョン 3.1.0 の Windows 版と MacIntel 版がリリースされました。

巨大素数

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6 日に書いた 4 月 12 日に発見されたメルセンヌ素数候補 242643801-1 (12837064 桁) の検証が終了し、知られている 2 番目に大きい素数であることが確認されました。

新たなメルセンヌ素数発見か?

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4 月 12 日に発見された新たなメルセンヌ素数の候補の検証作業が始まったそうです。候補の値は正式には発表されていませんが、昨年 8 月 23 日に発見された現在知られている最大の素数 243112609-1 (12978189 桁) よりも少し小さい 242643801-1 (12837064 桁) のようです。検証作業の開始が遅れたのはサーバから GIMPS の偉い人に候補の発見を知らせるはずの自動メールが送信されず誰も気付かなかったから。

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